Part 1： 题目描述
许多程序会大量使用字符串。对于不同的字符串，我们希望能够有办法判断其相似程序。我们定义一套操作方法来把两个不相同的字符串变得相同，具体的操作方法为：
1.修改一个字符（如把“a”替换为“b”）;
2.增加一个字符（如把“abdd”变为“aebdd”）;
3.删除一个字符（如把“travelling”变为“traveling”）;
比如，对于“abcdefg”和“abcdef”两个字符串来说，我们认为可以通过增加/减少一个“g”的方式来达到目的。上面的两种方案，都仅需要一 次 。把这个操作所需要的次数定义为两个字符串的距离，而相似度等于“距离+1”的倒数。也就是说，“abcdefg”和“abcdef”的距离为1，相似度 为1/2=0.5。
给定任意两个字符串，你是否能写出一个算法来计算它们的相似度呢？
Part 2：分析
书中给出的解法是通过递归来做的。其实有更快更简便的方法——动态规划。
此题其实就是算法中的求“最短编辑距离”。
编辑距离定义：计算两个字符串的距离，完全相同的字符串距离为0，可以通过修改一个字符、增加一个字符或删除一个字符三种方式来使两个字符串相同，但这些方式会使得距离加1。
假设现在有两个字符串A和B
A：David
B：Taisy
用二维数组d[i][j]表示A中取前i个字符到B中取前j个字符的最短编辑距离。比如d[2][1]就代表从”Da”到”T”的最短编辑距离。这里为2（即把D换成T，去掉A 或者去掉D，把a换成T）。
首先我们作出初始化d[0][j] = j（字符串A子串长度为0，字符串B子串有多少个字符，就作多少次增加操作；于是同理，作删除操作，可得d[i][0] = i）
其中d[i][j]只有3个来源：
1). 来自d[i – i][j – 1]，即 “A的前i-1个字符组成的子串” 到 “B的前j-1个字符组成的子串” 的编辑距离，此时如果A[i] = B[j]，则最短编辑距离不变，否则最短编辑距离加1（即把A[i]变为B[j] ），所以d[i][j] = d[i – 1][j – 1] + (A[i] == B[j] ? 0 : 1)
2). 来自d[i – 1][j]，即 “A的前i-1个字符组成的子串” 到 “B的前j个字符组成的子串” 的编辑距离。此时删除在A的第i个位置上的字符即可，所以d[i][j] = d[i – 1][j] + 1
3). 来自d[i][j – 1], 即 “A的前i个字符组成的子串” 到 “B的前j-1个字符组成的子串” 的编辑距离。此时在A的子串后面添加一个字符B[j]即可，所以d[i][j] = d[i][j – 1] + 1
于是状态转移方程就写出来啦。
d[i][j] = min (d[i – 1][j – 1] + (A[i] == B[j] ? 0 : 1) , d[i – 1][j] + 1 , d[i][j – 1] + 1)
Part 3： 实现代码。
测试代码如下：
[cpp]
#include
#include
using std::cout;
using std::endl;
int min(int a, int b, int c)
{
int small = a;
if(b < small)
small = b;
if(c < small)
small = c;
return small;
}
int main()
{
char s[] = "David_and_Sophia"; // the last character is ‘\0’
char d[] = "Dadiudiu_and_Xiaodiugirl"; // the last character is ‘\0’
int len_s = strlen(s); // 16
int len_d = strlen(d); // 24
int dist[len_s + 1][len_d + 1];
cout << len_s << endl;
cout << len_d << endl;
for(int i = 0; i <= len_s; i++)
dist[i][0] = i;
for(int i = 0; i <= len_d; i++)
dist[0][i] = i;
for(int i = 1; i <= len_s; i++)
for(int j = 1; j <= len_d; j++)
dist[i][j] = min((dist[i – 1][j] + 1), dist[i][j – 1] + 1, dist[i – 1][j – 1] + (s[i – 1] == d[j – 1] ? 0 : 1));
cout << dist[len_s][len_d] << endl;
return 0;
}
[/cpp]
POJ上有对应的题目, POJ 3356，很类似。链接如下，顺带解题参考代码：
http://poj.org/problem?id=3356
AC的代码：
[cpp]
/*
* Author: David
* Date: 2013-9-4 23:27:11
* Brief: edit distance, DP
* Link: http://poj.org/problem?id=3356
*
* POJ info:
* Problem: 3356 User: davidloves
* Memory: 4632K Time: 16MS
* Language: G++ Result: Accepted
*/
#include
#define SIZE 1001
using std::cin;
using std::cout;
using std::endl;
int min(int a, int b, int c)
{
int small = a;
if(small > b)
small = b;
if(small > c)
small = c;
return small;
}
int main()
{
char x[SIZE];
char y[SIZE];
int len_x, len_y;
while((cin >> len_x >> x >> len_y >> y))
{
int dist[len_x + 1][len_y + 1];
for(int i = 0; i <= len_x; i++)
dist[i][0] = i;
for(int j = 0; j <= len_y; j++)
dist[0][j] = j;
for(int i = 1; i <= len_x; i++)
for(int j = 0; j <= len_y; j++)
dist[i][j] = min((dist[i – 1][j] + 1), dist[i][j – 1] + 1, dist[i – 1][j – 1] + (x[i – 1] == y[j – 1] ? 0 : 1));
cout << dist[len_x][len_y] << endl;
}
return 0;
}
[/cpp]
Enjoy!